Сессии, наконец-то появившиеся в PHP версии 4, представляют собой механизм, позволяющий хранить некоторые (и произвольные) данные, индивидуальные для каждого пользователя (например, его имя и номер счета), между запусками сценария.
Термин "сессия" является транслитерацией от английского слова session, что в буквальном переводе должно бы означать "сеанс". Однако последнее слово в программистском жаргоне не особенно-то прижилось (насколько я знаю), поэтому я буду употреблять термин "сессия". И да простят меня студенты, если у них это вызывает нехорошие ассоциации.
Фактически, сессия — это некоторое место долговременной памяти (обычно часть на жестком диске и часть — в Cookies браузера), которое сохраняет свое состояние между вызовами сценариев одним и тем же пользователем. Иными словами, поместив в сессию переменную (любой структуры), мы при следующем запуске сценария получим ее в целости и сохранности. Трудно переоценить удобства, которые это предоставляет нам, программистам.